Bernulli diferensial tənliyi

Riyaziyyatda Bernulli diferensial tənliyi $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n$ şəklində adi diferensial tənliyə deyilir, burada $n$ ədədi 0 və ya 1-dən başqa hər hansı bir həqiqi ədəddir. 1695-ci ildə bunu müzakirə edən Yakob Bernulli adını daşıyır. Bernulli tənlikləri özəl tənliklərdir, çünki məlum dəqiq həlləri olan xətti olmayan diferensial tənliklərdir. Bernulli tənliyinin məşhur bir xüsusi halı logistik differensial tənliyidir.

Xətti diferensial tənliyə çevirmə

$n=0$ olduğu hal üçün diferensial tənlik xəttidir. $n=1$ olarsa ayrıla bilər haldadır. Bu hallarda, bu formaların tənliklərini həll etmək üçün standart üsullar tətbiq edilə bilər. $n\ne 0$ və $n\ne 1$ olduqda $u=y^{1-n}$ yerləşdirilirsə hər hansı bir Bernoulli tənliyini xətti diferensial tənliyə endirilir. Məsələn, $n=2$ də, $u=y^{-1}$ yerləşdirilirsə, $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=x{y}^2$ diferensial tənliyindən $\frac{du}{dx}-\frac{1}{x}u=-x$ xətti diferensial tənliyi d əldə edilir.

Həll

Qoy $x_0\in (a,b)$ və

$\{\begin{array}{cc}z:(a,b)\to (0,\mathrm{\infty }),& \text{if}\alpha \in ℝ\setminus \{1,2\},\\ z:(a,b)\to ℝ\setminus \{0\},& \text{if}\alpha =2,\end{array}$

xətti diferensial tənliyin bir həlli olsun

$z^{\prime }(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x).$

Onda bizdə $y(x):=[z(x){]}^{\frac{1}{1-\alpha }}$ var ki aşağıdakının bir həllidir

$y^{\prime }(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x),y(x_0)=y_0:=[z(x_0){]}^{\frac{1}{1-\alpha }}.$

Və bütün fərqli diferensial tənliklər üçün, bütün $\alpha >0$ üçün bizdə $y\equiv 0$ var ki $y_0=0$ üçün həllidir.

Nümunə

Bernoulli tənliyini nəzərdən keçirək

$y^{\prime }-\frac{2y}{x}=-x^2{y}^2$

(bu vəziyyətdə daha konkret olaraq Riccati tənliyi ). $y=0$ sabit funksiyası bir həlldir. $y^2$ bölünməsiylə

$y^{\prime }{y}^{-2}-\frac{2}{x}{y}^{-1}=-x^2$

Dəyişən dəyişənlər aşağıdakı tənlikləri verir

$w=\frac{1}{y}$

$w^{\prime }=\frac{-y^{\prime }}{y^2}.$

$-w^{\prime }-\frac{2}{x}w=-x^2$

$w^{\prime }+\frac{2}{x}w=x^2$

inteqrasiya amili istifadə edərək həll edilə bilər

$M(x)=e^{2\int \frac{1}{x}dx}=e^{2\ln x}=x^2.$

İlə çarparaq $M(x)$ ,

$w^{\prime }{x}^2+2xw=x^4,$

Sol tərəf $w{x}^2$ törəməsidir. Hər iki tərəfi $x$'e görə inteqrasiya etmək aşağıdakılara səbəb olur

$\int w^{\prime }{x}^2+2xwdx=\int x^{4}dx$

$w{x}^2=\frac{1}{5}{x}^5+C$

$\frac{1}{y}{x}^2=\frac{1}{5}{x}^5+C$

$y$ üçün həll

$y=\frac{x^2}{\frac{1}{5}{x}^5+C}$

dır.

İstinadlar

• Şablon:Citation
• Şablon:Citation