Adi diferensial tənliklər

Sərbəst dəyişən

$x$

, axtarılan funksiya

$y\left(x\right)$

və onun törəməsi

$y^{\prime }\left(x\right)$

arasıda verilmiş

$$F(x,y,y^{\prime })=0(1)$$

münasibətinə birtərtibli adi diferensial tənlik deyilir.Aydındır ki,

$F(x,y,z)$

funksiyası

$x,y$

dəyişənlərinin birindən və ya hər ikisindən asılı olmaya da bilər, lakin (1) tənliyinin diferensial tənlik olması üçün bu funksiya

$z$

- dən hökmən asılı olmalıdır.

$$y^{\prime }=f(x,y)(2)$$

şəklində olan tənliyə törəməyə nəzərən həll olunmuş birtərtibli aid diferensial tənlik deyilir.

Tutaq ki,

$f(x,y)$

funksiyası

$XOY$

müstəvisinin müəyyən bir

$D$

oblastında təyin olunmuşdur.

Оblast dedikdə, aşağıdakı 2 şərtini ödəyən boş olmayan

$D$

nöqtələr çoxluğu başa düşülür:

1) $D$ açıq çoxluqdur, yəni onun hər bir nöqtəsi özünün müəyyən bir ətrafı ilə bu çoxluğa daxildir;

2)

$D$

çoxluğu əlaqəli çoxluqdur, yəni onun istənilən iki nöqtəsini tamamilə

$D$

– nin daxilində yerləşən və təşkilediçilərinin sayı sonlu olan sınıq xətt vasitəsilə birləşdirmək olar.

Tərif. Əgər

$(a,b)$

inteqralında diferensiallanan

$y=\phi \left(x\right)$

funksiyası

$$\begin{array}{c}1.(x,\phi \left(x\right))\in D,x\in (a,b)\\ 2.\phi \left(x\right)=f(x,\phi \left(x\right)),x\in (a,b)\end{array}$$

şərtlərini ödəyirsə, həmin funksiyaya (2) tənliyinin

$(a,b)$

intervalında həlli deyilir.

Bəzən diferensial tənliyin həllinin qeyri – aşkar funksiya kimi və ya parametrik şəkildə tapmaq əlverişli olur.

Tərif. Əgər

$$\varphi (x,y)=0(3)$$

bərabərliyindən qeyri – aşkar funksiya kimi təyin olunan

$y=\phi \left(x\right)$

funksiyası (2) tənliyinin həlli olarsa, (3) münasibətinə (2) tənliyinin qeyri – aşkar şəkildə həlli deyilir.

Tərif. Parametrik şəkildə verilmiş

$$x=\phi \left(x\right),y=\psi \left(t\right),t\in (\alpha ,\beta )(4)$$

funksiyası hər bir

$t$

üçün:

1) $(\phi \left(t\right),\psi \left(t\right))\in D$

2) $x^{\prime }={\phi }^{\prime }\left(t\right),y^{\prime }={\psi }^{\prime }\left(t\right),({\phi }^{\prime }\left(t\right)\ne 0)$ sonlu törəmələri və

3)

$\frac{{\psi }^{\prime }\left(t\right)}{{\phi }^{\prime }\left(t\right)}=f(\phi \left(t\right),\psi \left(t\right))$

bərabərliyi ödənirsə, onda (4) funksiyasına (2) tənliyinin

$(\alpha ,\beta )$

inteqralında parametrik şəklində həlli deyilir.

Misallar: 1.

$y^{\prime }=2x$

tənliyi birtərtibli aidi diferensial tənlikdir. İnteqral hesabından bilirik ki, onun həlli

$y=x^2+c(-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty })$

düsturu ilə təyin olunur. Bu düsturdan görürük ki,

$y^{\prime }=2x$

tənliyi bir yox, sonsuz sayda həllə malikdir. Burada

$C$

ixtiyari sabitdir.

Ümumiyyətlə,

$y^{\left(n\right)}=0$ $n$

- tərtibli tənliyin həlli isə

$n$

dənə sabitdən asılı olan

$$y=c_1{x}^{n-1}+c_2{x}^{n-2}+...+c_{n-1}x+c_n$$

həllər ailəsinə malikdir.

2.

$y=e^{2x}+e^x$

funksiyası

$y^{\prime }=y+e^{2x}$

tənliyinin həllidir.

Doğrudan da,

$y=e^{2x}+e^x$

funksiyası

$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

inteqralında təyin olunmuş və diferensiallanandır, onu tənlikdə nəzərə alsaq

$$2e^{2x}+e^x=e^{2x}+e^x+e^{2x}$$$x$

- in bütün qiymətlərində doğru olduğunugörərik.

3. $x=a\cos t,y=b\sin t$ funksiyası $y^{\prime }=-\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{x}{y}$ tənliyinin aralığında həllidir.

Doğrudan da $$\frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{a\cos t}{b\sin t}$$fiziki, mexanika və s. kimi müxtəlif elm sahələrinin və texnikanın bir çox mühüm məsələlərinin həlli diferensial tənliklərə gətirilir. Bunu aşağıdakı misalda izah edək.

Kütləsi $m$ olan maddi nöqtə müəyyən yüksəklikdən ağırlıq qüvvəsinin təsiri ilə sərbəst düşür. Havanın miqavimətini nəzərə almadan nöqtəyə təsir edən $F$ qüvvəsi onun hərəkətinin $a$ təcili vasitəsilə$$F=ma$$kimi tapılır (Nyuton II qanunu). Nöqtəyə ancaq ağırlıq qüvvəsi təsir etdiyindən $F=p=mg$ olar.

$$\begin{array}{c}a=\frac{d^{2s}\left(t\right)}{d{t}^2}=S^{\prime \prime }\left(t\right)\\ S^{\prime \prime }\left(t\right)=g\\ S\left(t\right)=\frac{g{t}^2}{2}+c_{1}t+c_2\end{array}$$$S^{\prime }\left(0\right)=V_0$ və $S\left(0\right)=S_0$ məlum olarsa və $C_1=V_0$ və $C_2=S_0$$$S\left(t\right)=\frac{g{t}^2}{2}+V_{0}t+S_0.$$

Həmçinin bax

• Riyaziyyat

• Tənlik

Ədəbiyyat

• 1.Q.Т.əhmədov, К.Q.Həsənov, М.H.Yaqubov, Adi diferensial tənliklər kursu, Bakı, Maarif, 1978.

• 2.И.Г.Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., Наука, 1984.

• 3.Л.С.Понтрягин, Обыкновеные дифференциальные уравнения, М., Наука, 1982.

• 4.В.В.Степанов, Курс дифференциальных уравнений, М.,1959.

• 5.А.Ф.Филиппов, Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М., 2004. Şablon:Vebarxiv

• 6.Х.М.Quliyev, К.Q.Həsənov, Diferensial tənliklər. Məsələ və misallar həlləri ilə, Bakı, Çaşıoğlu, 2001.

• 7.М.H.Yaqubov, Y.Т.Mehrəliyev, Birtərtibli adi diferensial tənliklər, BDU, Bakı, 1999.

• 8.Л.Э.Эльсгольц, Дифференциальные уравнения и вариационные исчисление, Москва, 1969.

• 9.Н.М.Матвеев, Методы интегрирования обыкновеных дифференциальных уравнений, Минск, Выщэйщая школа, 1974.

• 10.А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников, Дифференциальные уравнения, Москва, Наука, 1985.