Adi diferensial tənliklər

Sərbəst dəyişən $x$, axtarılan funksiya $y\left(x\right)$ və onun törəməsi $y^{\prime }\left(x\right)$ arasıda verilmiş$$F(x,y,y^{\prime })=0(1)$$münasibətinə birtərtibli adi diferensial tənlik deyilir.Aydındır ki, $F(x,y,z)$ funksiyası $x,y$ dəyişənlərinin birindən və ya hər ikisindən asılı olmaya da bilər, lakin (1) tənliyinin diferensial tənlik olması üçün bu funksiya $z$- dən hökmən asılı olmalıdır.$$y^{\prime }=f(x,y)(2)$$şəklində olan tənliyə törəməyə nəzərən həll olunmuş birtərtibli aid diferensial tənlik deyilir.

Tutaq ki, $f(x,y)$ funksiyası $XOY$ müstəvisinin müəyyən bir $D$ oblastında təyin olunmuşdur.

Оblast dedikdə, aşağıdakı 2 şərtini ödəyən boş olmayan $D$ nöqtələr çoxluğu başa düşülür:

1) $D$ açıq çoxluqdur, yəni onun hər bir nöqtəsi özünün müəyyən bir ətrafı ilə bu çoxluğa daxildir;

2) $D$ çoxluğu əlaqəli çoxluqdur, yəni onun istənilən iki nöqtəsini tamamilə $D$ – nin daxilində yerləşən və təşkilediçilərinin sayı sonlu olan sınıq xətt vasitəsilə birləşdirmək olar.

Tərif. Əgər $(a,b)$ inteqralında diferensiallanan $y=\phi \left(x\right)$ funksiyası $$\begin{array}{c}1.(x,\phi \left(x\right))\in D,x\in (a,b)\\ 2.\phi \left(x\right)=f(x,\phi \left(x\right)),x\in (a,b)\end{array}$$şərtlərini ödəyirsə, həmin funksiyaya (2) tənliyinin $(a,b)$ intervalında həlli deyilir.

Bəzən diferensial tənliyin həllinin qeyri – aşkar funksiya kimi və ya parametrik şəkildə tapmaq əlverişli olur.

Tərif. Əgər$$\varphi (x,y)=0(3)$$bərabərliyindən qeyri – aşkar funksiya kimi təyin olunan $y=\phi \left(x\right)$ funksiyası (2) tənliyinin həlli olarsa, (3) münasibətinə (2) tənliyinin qeyri – aşkar şəkildə həlli deyilir.

Tərif. Parametrik şəkildə verilmiş

$$x=\phi \left(x\right),y=\psi \left(t\right),t\in (\alpha ,\beta )(4)$$funksiyası hər bir $t$ üçün:

1) $(\phi \left(t\right),\psi \left(t\right))\in D$

2) $x^{\prime }={\phi }^{\prime }\left(t\right),y^{\prime }={\psi }^{\prime }\left(t\right),({\phi }^{\prime }\left(t\right)\ne 0)$ sonlu törəmələri və

3) $\frac{{\psi }^{\prime }\left(t\right)}{{\phi }^{\prime }\left(t\right)}=f(\phi \left(t\right),\psi \left(t\right))$ bərabərliyi ödənirsə, onda (4) funksiyasına (2) tənliyinin $(\alpha ,\beta )$ inteqralında parametrik şəklində həlli deyilir.

Misallar: 1. $y^{\prime }=2x$ tənliyi birtərtibli aidi diferensial tənlikdir. İnteqral hesabından bilirik ki, onun həlli $y=x^2+c(-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty })$ düsturu ilə təyin olunur. Bu düsturdan görürük ki, $y^{\prime }=2x$ tənliyi bir yox, sonsuz sayda həllə malikdir. Burada $C$ ixtiyari sabitdir.

Ümumiyyətlə, $y^{\left(n\right)}=0$ $n$ - tərtibli tənliyin həlli isə $n$ dənə sabitdən asılı olan $$y=c_1{x}^{n-1}+c_2{x}^{n-2}+\mathrm{...}+c_{n-1}x+c_n$$həllər ailəsinə malikdir.

2. $y=e^{2x}+e^x$ funksiyası $y^{\prime }=y+e^{2x}$ tənliyinin həllidir.

Doğrudan da, $y=e^{2x}+e^x$ funksiyası $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ inteqralında təyin olunmuş və diferensiallanandır, onu tənlikdə nəzərə alsaq$$2e^{2x}+e^x=e^{2x}+e^x+e^{2x}$$$x$- in bütün qiymətlərində doğru olduğunugörərik.

3. $x=a\cos t,y=b\sin t$ funksiyası $y^{\prime }=-\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{x}{y}$ tənliyinin aralığında həllidir.

Doğrudan da $$\frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{a\cos t}{b\sin t}$$fiziki, mexanika və s. kimi müxtəlif elm sahələrinin və texnikanın bir çox mühüm məsələlərinin həlli diferensial tənliklərə gətirilir. Bunu aşağıdakı misalda izah edək.

Kütləsi $m$ olan maddi nöqtə müəyyən yüksəklikdən ağırlıq qüvvəsinin təsiri ilə sərbəst düşür. Havanın miqavimətini nəzərə almadan nöqtəyə təsir edən $F$ qüvvəsi onun hərəkətinin $a$ təcili vasitəsilə$$F=ma$$kimi tapılır (Nyuton II qanunu). Nöqtəyə ancaq ağırlıq qüvvəsi təsir etdiyindən $F=p=mg$ olar.

$$\begin{array}{c}a=\frac{d^{2s}\left(t\right)}{d{t}^2}=S^{″}\left(t\right)\\ S^{″}\left(t\right)=g\\ S\left(t\right)=\frac{g{t}^2}{2}+c_{1}t+c_2\end{array}$$$S^{\prime }\left(0\right)=V_0$ və $S\left(0\right)=S_0$ məlum olarsa və $C_1=V_0$ və $C_2=S_0$$$S\left(t\right)=\frac{g{t}^2}{2}+V_{0}t+S_0.$$

Həmçinin bax

• Riyaziyyat

• Tənlik

Ədəbiyyat

• 1.Q.Т.əhmədov, К.Q.Həsənov, М.H.Yaqubov, Adi diferensial tənliklər kursu, Bakı, Maarif, 1978.

• 2.И.Г.Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., Наука, 1984.

• 3.Л.С.Понтрягин, Обыкновеные дифференциальные уравнения, М., Наука, 1982.

• 4.В.В.Степанов, Курс дифференциальных уравнений, М.,1959.

• 5.А.Ф.Филиппов, Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М., 2004. Şablon:Vebarxiv

• 6.Х.М.Quliyev, К.Q.Həsənov, Diferensial tənliklər. Məsələ və misallar həlləri ilə, Bakı, Çaşıoğlu, 2001.

• 7.М.H.Yaqubov, Y.Т.Mehrəliyev, Birtərtibli adi diferensial tənliklər, BDU, Bakı, 1999.

• 8.Л.Э.Эльсгольц, Дифференциальные уравнения и вариационные исчисление, Москва, 1969.

• 9.Н.М.Матвеев, Методы интегрирования обыкновеных дифференциальных уравнений, Минск, Выщэйщая школа, 1974.

• 10.А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников, Дифференциальные уравнения, Москва, Наука, 1985.