Rikkati tənliyi

$y^{\prime }+a(x)y+b(x)y^2+c(x)=0$ $(\ast )$

şəklində tənliyə Rikkati tənliyi deyilir. Rikkati tənliyi $b(x)=0$ olduqda xətti, $c(x)=0$ olduqda isə Bernulli tənliyinə çevrilir. Rikkati tənliyinin hər hansı $y_1(x)$ xüsusi həlli məlum olduqda $y(x)=y_1(x)+z(x)$ əvəzləməsi vasitəsilə Bernulli tənliyinə gətirlir. Ümumi halda, Rikkati tənliyi kvadraturaya gətirilə bilmir, yəni həll etmək olmur.

Tarixi

Xüsusi halda:

$b\frac{dx}{dt}=x^2+a{t}^{\alpha },(\ast \ast )$

haradakı $\alpha ,a,b\ne 0$ —sabiti, ilk dəfə italyan riyaziyyatçısı tədqiq etmişdir Yakopo Françesko Rikkati və ailələrini Bernulli . $\alpha =4n/(1-2n),n\in \mathbb{N},$ или $\alpha =-2$ Jozef Liuvill (1841)isbat etmişdir. $(\ast )$ şəkildə ümumi Rikkati tənliyi , $(\ast \ast )$ — isə xüsusi Rikkati tənliyi adlanır.

Xassələri

1. $y^{\prime }+m(x)(Ay+B{y}^2+C)=0$ olduqda dəyişənlərinə ayrılan,
2. $y^{\prime }+A\frac{y}{x}+B{\left(\frac{y}{x}\right)}^2+C=0$ olduqda bircins,
3. $y^{\prime }+A\frac{y}{x}+B(y{)}^2+\frac{C}{x^2}=0$ olduqda ümumiləşmiş bircns tənliyə çevrilir.

Nümunə.

$y^{\prime }+2y{e}^x-y^2=e^{2x}+e^x$ Rikkati tənliyini həll edin.

Həlli:

$y_1(x)=e^x$ tənliyin həlli olduğunu bilavasitə yoxlamaq olar. Onda $y(x)=z+e^x$ əvəzləməsini aparmaqla alırıq:

$z^{\prime }+e^x+2(z+e^x)e^x-(z+e^x{)}^2=e^{2x}+e^x,z^{\prime }-z^2=0.$

Alınan tənliyi həll etsək, $z=\frac{1}{x+C}.$

Deməli, $y=e^x-\frac{1}{x+C}$ Rikkati tənliyinin ümumi həlli olur.

Ədəbiyyat

• Q.T. Əhmədov, K.Q. Həsəov, M.H. Yaqubov, Adi diferensial tənliklər kursu, Bakı, Maarif, 1978.
• И.Г.Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., Наука, 1984.
• Л.С.Понтрягин, Обыкновеные дифференциальные уравнения, М., Наука, 1982.
• В.В.Степанов, Курс дифференциальных уравнений, М., 1959.
• А.Ф.Филиппов, Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М., 2004.
• X.M. Quliyev, K.Q. Həsəov, Difernsial tənliklər, Məsələ və misallar tənliyi, Bakı, Çaşıoğlu, 2001.
• M.H. Yaqubov, Y.T. Mehrəliyev, Birtərtibli adi difernsial tənliklər, BDU, Bakı, 1999.
• Л.Э.Эльсгольц, Дифференциальные уравнения и вариационные исчисление, Москва, 1969.
• Н.М.Матвеев, Методы интегрирования обыкновеных дифференциальных уравнений, Минск, Выщэйщая школа, 1974.
• А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников, Дифференциальные уравнения, Москва, Наука, 1985.

Xarici keçidlər

• Wolfram Math. World: Riccati Differential Equation
• Eq. World: General Riccati equation