Parabola

Parabola, onun fokus məsafəsi və direktrisası

Kəsik konus:
Eksentrisitet:	$e = 1$
Bərabərlik:	$y^{2} = 2 p x$
Hiperbola Şablon:·w Parabola Şablon:·w Ellips Şablon:·w Çevrə

Parabola (Şablon:Lang-gr, tətbiq) — kvadratik funksiyanın (y = x²) qrafikinə verilən addır. Parabola Hiperbolanın tərsidir. Parabola dedikdə müstəvinin elə nöqtələrinin həndəsi yeri başa düşülür ki, bu nöqtələrin müstəvinin verilmiş düz xəttindən və verilmiş nöqtəsində olan məsafələri bir-birinə bərabər olsun. Müstəvinin verilmiş bu düz xəttinə parabolanın direktirisi, verilmiş nöqtəsinə isə parabolanın fokusu deyilir. Parabolanın fokusunu adətən $F$ ilə işarə edirlər.

Bərabərlik

Düzxətli koordinat sistemi üzərində Parabolanın kanonik şəkli aşağıdakı kimidir:

y^{2} = 2 p x, p > 0

(ya da

x^{2} = 2 p y

, əgər uc nöqtələrinin yernini dəyişdirsək).

Nəticə

Direktrisanın bərabərliyi: $P Q$ : $x + \frac{p}{2} = 0$ , fokus — $F (\frac{p}{2}; 0)$ , buna əsasən koordinat başlanğıcı: $O$ — mərkəzin kəsiyi $C F$ . Parabolanın $M$ üçün tapılmış müxtəlif nöqtəsində, üzərində yerləşən bərabərlik alınır: $K M = F M$ . $K M = K D + D M = \frac{p}{2} + x$ və $F M = \sqrt{{(x - \frac{p}{2})}^{2} + y^{2}}$ , onda bərabərlik aşğıdakı görünüşünü alır:

\sqrt{{(x - \frac{p}{2})}^{2} + y^{2}} = \frac{p}{2} + x

. Bərabərliyi müxtəlif cür hesabladıqdan sonra eynigüclü bərabərlik alınır:

y^{2} = 2 p x

.

Kvadrat tənlik: $y = a x^{2} + b x + c$ при $a \neq 0$ həmçinin, parabolanın и qrafikini əks etdirir, bu düstur kimi: $y = a x^{2}$ , ancaq birinci bərabərlik ikinci bərabərlikdən ona görə fərqlənir ki, birinci bərabərliyin başlanğıcı koordinat başlanğıcı üzərində deyildir. $A$ -nın müxtəlif nöqtələri üçün koordinat aşağıdakı düsturla hesablanır:

x_{A} = - \frac{b}{2 a}, y_{A} = - \frac{D}{4 a},

haradakı:

D = b^{2} - 4 a c

— Diskriminant. Həmçinin:

y = a x^{2} + b x + c

kvadratik tənliyi

y = a (x - x_{A})^{2} + y_{A}

bu şəkildə də göstərilə bilər. Əgər

A

nöqtəsi koordinat siteminin başlanğıcı üzərində olarsa kanonik şəkildə göstərilə bilər. Bu zaman:

p = \frac{1}{| 2 a |}

ifadəsi meydana çıxır.

Kvadrat tənliyinin əmsallarının hesablanması

Əgər $y = a x^{2} + b x + c$ tənliyi üçün tapılmış üç nöqtə üçün $(x_{1}; y_{1})$ , $(x_{2}; y_{2})$ , $(x_{3}; y_{3})$ ifadələr alınarsa, onda kvadrat tənliyinin əmsallarını aşağıdakı kimi hesablamaq olar:

$a = \frac{y_{3} - \frac{x_{3} (y_{2} - y_{1}) + x_{2} y_{1} - x_{1} y_{2}}{x_{2} - x_{1}}}{x_{3} (x_{3} - x_{1} - x_{2}) + x_{1} x_{2}}, b = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} - a (x_{1} + x_{2}), c = \frac{x_{2} y_{1} - x_{1} y_{2}}{x_{2} - x_{1}} + a x_{1} x_{2}$

Digər bərabərliklər

Şaquli simmetriyanın ucları

(x - h)^{2} = 4 p (y - k)

y = \frac{(x - h)^{2}}{4 p} + k

y = a x^{2} + b x + c

haradakı:

a = \frac{1}{4 p}; b = \frac{- h}{2 p}; c = \frac{h^{2}}{4 p} + k;

h = \frac{- b}{2 a}; k = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}

. Parametrik forması:

x (t) = 2 p t + h; y (t) = p t^{2} + k

Üfüqi simmetriyanın ucları

(y - k)^{2} = 4 p (x - h)

x = \frac{(y - k)^{2}}{4 p} + h;

x = a y^{2} + b y + c

haradakı:

a = \frac{1}{4 p}; b = \frac{- k}{2 p}; c = \frac{k^{2}}{4 p} + h;

h = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}; k = \frac{- b}{2 a}

. Parametrik forması:

x (t) = p t^{2} + h; y (t) = 2 p t + k

Baş parabola

Parabola üçün ümumi düstur aşağıdakı kimidir:

(α x + β y)^{2} + γ x + δ y + ϵ = 0

A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0

və aşağıdakı kimi ifadə üçün doğrudur,

B^{2} = 4 A C

.

Baş parabola üçün fokus tənliyi: F(u, v), və a direktriks üçün düstur:

a x + b y + c = 0

is

\frac{{(a x + b y + c)}^{2}}{a^{2} + b^{2}} = {(x - u)}^{2} + {(y - v)}^{2}

Qauss xəritəsinin forması

Qauss xəritəsinin forması aşağıdakı kimidir: $(\tan^{2} ϕ, 2 \tan ϕ)$ tənliyin ifadəsi aşağıdakı ifadə kimi eynigüclüdür: $(\cos ϕ, \sin ϕ)$ .

Polyar koordinatda parabola

Polyar koordinatda olan parabola üçün aşağıdakı bərabərliklər vardır:

r (φ) = 4 a \frac{\cos (φ)}{\sin^{2} (φ)} φ \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] ∖ {0} .

$(a, 0)$ .

r (φ) = \frac{2 a}{1 - \cos (φ)} φ \neq 2 π k .

Fəzada Parabola

Bir sıra kosmik cisimlərin trayektoriyası (kometlər, asteroidlər və s.) böyük sürətlə parabolaya oxşayırlar. Parabola konus ailəsinin bir hissəsinə aiddir. Parabolanın formasından bir sıra arxitekturada istifadə edilir.