Zeta sabiti

Zeta sabiti — tam ədədi Rieman zeta funksiyasında yerində yazmaqla alınan sabit.

0 və 1-də Rieman zeta funksiyası

ζ (0) = B_{1} = - \frac{1}{2} .

ζ (1) = \infty .

Müsbət cüt tam ədədlər üçün aşağıdakı kimidir:

ζ (2 n) = (- 1)^{n + 1} \frac{B_{2 n} (2 π)^{2 n}}{2 (2 n)!}

$n \geq 1$ düsturuna əsasən hesablanmış zeta funksiyası:

ζ (2) = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots = \frac{π^{2}}{6} = 1.6449 \dots

ζ (4) = 1 + \frac{1}{2^{4}} + \frac{1}{3^{4}} + \dots = \frac{π^{4}}{90} = 1.0823 \dots

ζ (6) = 1 + \frac{1}{2^{6}} + \frac{1}{3^{6}} + \dots = \frac{π^{6}}{945} = 1.0173... \dots

ζ (8) = 1 + \frac{1}{2^{8}} + \frac{1}{3^{8}} + \dots = \frac{π^{8}}{9450} = 1.00407... \dots

ζ (10) = 1 + \frac{1}{2^{10}} + \frac{1}{3^{10}} + \dots = \frac{π^{10}}{93555} = 1.000994... \dots

ζ (12) = 1 + \frac{1}{2^{12}} + \frac{1}{3^{12}} + \dots = \frac{691 π^{12}}{638512875} = 1.000246 \dots

ζ (14) = 1 + \frac{1}{2^{14}} + \frac{1}{3^{14}} + \dots = \frac{2 π^{14}}{18243225} = 1.0000612 \dots

Müsbət tam ədəd üçün olan zeta ilə Bernulli ədədləri arasındakı əlaqə aşağıdakı kimi yazılır:

0 = A_{n} ζ (n) - B_{n} π^{n}

Buna misal olaraq bir neçəsini göstərmək olar:

ζ (1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots = \infty

ζ (3) = 1 + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{3^{3}} + \dots = 1.20205 \dots

ζ (5) = 1 + \frac{1}{2^{5}} + \frac{1}{3^{5}} + \dots = 1.03692 \dots

ζ (7) = 1 + \frac{1}{2^{7}} + \frac{1}{3^{7}} + \dots = 1.00834 \dots

ζ (9) = 1 + \frac{1}{2^{9}} + \frac{1}{3^{9}} + \dots = 1.002008 \dots

Zeta Sabitləri Cəminin düsturu aşağıdakı kimidir:

\sum_{k = 2}^{\infty} (ζ (k) - 1) = 1