Xan-Banax teoremi

Teorem

Tutaq ki, $p$ funksionalı $E$ həqiqi xətti fəzasında təyin olunmuş bircins qabarıq funksional, $f$ isə müəyyən $L\subset E$ xətti altfəzasında təyin olunmuş və istənilən $x\in L$ ünsürü üçün

$f(x)\le p(x)$

şərtini ödəyən həqiqi xətti funksionaldır. Onda $f$ funksionalını bütün $E$ fəzasında təyin olunan və istənilən $x\in E$ ünsürü üçün

$F(x)\le p(x)$

şərtini ödəyən $F$ həqiqi xətti funksionalına davam etdirmək olar.

İsbatı

$f$ funksionalının hər bir $x\in D(f^{\prime })$ ünsürü üçün $f^{\prime }(x)\le p(x)$ bərabərsizliyini ödəyən bütün $f^{\prime }$ xətti davamları çoxluğunu $F_p$ ilə işarə edək. Burada $D(f^{\prime })$ $f^{\prime }$ funksionalının təyin oblastıdır. $f_1^{\prime },f_2^{\prime }\in F_p$ funksionallarından $f_2^{\prime }$ funksionalı $f_1^{\prime }$-in davamı olduqda bunu $f_1^{\prime }<f_2^{\prime }$ şəklində ifadə edək. Onda $F_p$ bu münasibətə nəzərən qismən nizamlanmış çoxluq olar. Əgər $F_p^{\prime }$-lə $F_p$-nin (xətti) nizamlanmış hissəsini işarə etsək, $\bigcup _{f^{\prime }\in F_p}D(f^{\prime })$ çoxluğunda təyin olunan və hər bir $x\in D(f^{\prime })$, $f^{\prime }\in F_p^{\prime }$ üçün $f_0(x)=f^{\prime }(x)$ kimi verilən $f_0$ funksionalı $F_p^{\prime }$ çoxluğunun yuxarı sərhəddi olacaqdır. Bu da onu göstərir ki, $F_p$ çoxluğu Sorn lemmasının şərtlərini ödəyir. Onda bu lemmaya görə $F_p$ çoxluğu $F$ maksimal ünsürünə malikdir. Asanlıqla görmək olar ki, $f$ maksimal funksionalının təyin oblastı bütün $E$ oblastı ilə üst-üstə düşür. Əks halda $f$ funksionalının $D(F)$ təyin oblastından münasibətini ödəməklə davam etdirmək olardı. Bu isə $F$-in maksimal ünsür olmasına zidd olardı. Bununla teorem isbat olundu.

Ədəbiyyat

1. Ə.H.Əhmədov. Xətti analizin üç prinsipi. Dərs vəsaiti. Bakı: «Bakı Universiteti» nəşriyyatı, 2008, 112 s.

2. Elşar Qurban oğlu Orucov. Tətbiqi funksional analizin elementləri: Bakı “BDU nəşriyyatı”, 2008, 234 səh. Şablon:Vebarxiv

3. А.Н.Колмогоров, С.М.Фомин. Элементы теории функции и функционального анализа. М., 1988 г

4. Л.А.Люстерник, В.И.Соболев. Элементы функционального анализа. М., 1965г.

5.Л.В.Канторович, Г.П.Акилов. Функциональный анализ в нормированных пространствах.М., 1959 г.

6.М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики, т.1.Функциональный анализ, 1977 г.

7.В.А.Треногин. Задачи и упражнения по функциональному анализу.М., 1984 г.

8.Ə.Həbibzadə. Funksional analiz. Bakı, 1988

Həmçinin bax

Математический анализ, функциональный анализ