Transsendent ədəd

Transsendent ədədlər (Şablon:Dil-la — keçmək, üstələmək) — cəbri olmayan, kompleks və ya həqiqi ədədlər, başqa sözlə, qüvvəti tam ədəd (və ya rasional) olan polinomun (çoxhədlinin) kökü olmayan həqiqi ədədləri.

Xüsusiyyətlər

• Bir çox transsendent ədəd kontinualdır.
• Hər bir transsendent həqiqi ədəd irrasionaldır, amma əks proses tamamilə yanlışdır, yəni bütün irrasional ədədlər transsendent ədəd deyildir. Məsələn, $\sqrt{2}$ ədədi — irrasionaldır, amma transsendent ədəd deyildir: çünki bu ədəd $x^2-2$ çoxhədlisinin köküdür (və buna görə də bu ədəd cəbri ədəddir).
• Bir çox həqiqi transsendent ədəd sırası, bir çox irrasional ədəd sırası ilə izomorfdur.
• Demək olar ki, hər bir transsendent ədədin irrasionallığının ölçüsü 2-yə bərabərdir.

Nümunələr

• $\pi$ ədədi.
• $e$ ədədi.
• İstənilən tam ədədin ($10^n$-dən başqa) onluq loqarifması.
• $\sin a$, $\cos a$ və $\mathrm{t}\mathrm{g}a$, sıfırdan fərqli ixtiyari $a$ cəbri ədədi üçün (Lindeman — Veyerştrass teoreminə görə).

Tarixi

İlk dəfə transsendent ədəd anlayışını elmə, 1844-cü ildə Liuvill Jozefal daxil etdi. O, öz teoremində sübut etdi ki, cəbr ədədə, rasional kəsrlə yaxınlaşmaq mümkün deyil.

1873-cü ildə Ermit Şarl , natural loqarifmaların əsaslarında e ədədinin transsendentliyini sübut etdi.

1882-ci ildə Lindeman Ferdinand sıfırdan fərqli cəbr göstəricisi ilə e ədədinin dərəcəsinin transsendentliyi haqqında teoremi sübut etdi, bununla da $\pi$ ədədinin və dairə kvadraturası məsələsinin həll edilməzliyinin transsendentliyini sübut etdi.

1900-cü ildə keçirilən II Riyaziyyatçıların Beynəlxalq konqressind ə Hilbert David iştirakçılara qeyd edilmiş problemlər arasında yeddinci problemi açıqladı: " Əgər $a\ne 0$ — cəbri ədəddirsə və eyni zamanda $b$ ədədi də cəbridirsə, amma irrasionaldırsa, $a^b$ —nin transsendent ədəd olduğunu söyləmək düzgun olarmı?" Xüsusi halda, $2^{\sqrt{2}}$ ədədi transsendentdir. Bu problem 1934-cü ildə Gelfondom tərəfindən həll edilmişdi. O, sübut etdi ki, bütün bu tip ədədlər həqiqətən transsendentdir.

Bəzi açıq problemlər

• $\ln \pi$ ədədinin rasional, cəbri, irrasional və ya transsendent ədəd olduğu məlum deyil.

• $\ln 2,\ln 3$ ədədlərinin üçün irrasionallığı naməlumdur.