Roll teoremi

Şablon:Vikiləşdirmək Roll teoremi — parçanın uclarında bərabər qiymətlər alan funksiyanın törəməsinin sıfırları haqqında diferensial hesabının əsas teoremi.

Teorem

Teorem. $[a,b]$ parçasında kəsilməz, $(a,b)$ intervalında differensiallanan $y=f(x)$ funksiyası $[a,b]$ parçasının uc nöqtələrində bərabər $f(a)=f(b)$ qiymətləri alırsa, onda $(a,b)$ intervalında yerləşən heç olmasa bir elə $\gamma$ nöqtəsi var ki, bu nöqtədə funksiyanın törəməsi sıfra bərabərdir: $f^{\prime }(\gamma )=0$.

İsbatı

Funksiya $[a,b]$ parçasında sabit olduqda teoremin doğruluğu aydındır. Bu halda $f(x)$-in törəməsi $(a,b)$ intervalının bütün nöqtələrində sıfıra bərabərdir və $\gamma$ nöqtəsi olaraq istənilən nöqtəni götürmək olar.

İndi fərz edək ki, $f(x)$ funksiyası sabit deyil. O, $[a,b]$ parçasında kəsilməz olduğundan Veyerştrassın ikinci teoreminə görə özünün dəqiq aşağı $m_0$ və dəqiq yuxarı $M_0$ sərhədinin hər birini həmin parçanın heç olmasa bir nöqtəsində alır.

Sabit olmayan $f(x)$ funksiyası üçün $m_0<M_0$ olar və $f(a)=f(b)$ şərtinə görə funksiya $m_0$ və $M_0$ sərhədlərinin heç olmasa birini parçasının daxili nöqtəsində alar.

Tutaq ki, $f(x)$ funksiyası dəqiq aşağı sərhəddini daxili $\gamma$ nöqtəsində alır: $f(\gamma )=m_0,(a<\gamma <b)$. Onda kifayət qədər kiçik olan ixtiyarı $|\mathrm{\Delta }x|$ üçün

$f(\gamma +|\mathrm{\Delta }x|)\ge f(\gamma )$,

buradan

$\frac{f(\gamma +\mathrm{\Delta }x)-f(\gamma )}{\mathrm{\Delta }x}\le 0$, $\mathrm{\Delta }x<0$ olduqda, $(1)$

$\frac{f(\gamma +\mathrm{\Delta }x)+f(\gamma )}{\mathrm{\Delta }x}\ge 0$, $\mathrm{\Delta }x>0$ olduqda . $(2)$

$\mathrm{\Delta }x\to 0$ şərtində $(1)$ və $(2)$ bərabərsizliklərində limitə keçsək,

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(\gamma +\mathrm{\Delta }x)-f(\gamma )}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(\gamma )\le 0$, $\mathrm{\Delta }x<0$ olduqda,

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(\gamma +\mathrm{\Delta }x)-f(\gamma )}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(\gamma )\ge 0$, $\mathrm{\Delta }x>0$ olduqda.

$f^{\prime }(\gamma )\le 0$ və $f^{\prime }(\gamma )\ge 0$ münasibətlərindən $f^{\prime }(\gamma )=0$ alınır.

$f(x)$ funksiyası dəqiq yuxarı sərhəddini parçanın daxili nöqtəsində aldıqda törəmənin sıfıra bərabər olduğu $\gamma$ nöqtəsinin varlığı eyni qayda ilə isbat olunur.

Mənbə

• Ali Riyaziyyat kursu I dərslik / Roll teoremi səh. 363; f.r.e.d. professor Rafiq Məmmədov; Maarif nəşriyyatı 1978

Həmçinin bax

• Mişel Roll[1]
• Karl Vilhelm Veyerştrass[2]