Qrupların homomorfizmi

Şablon:VikiləşdirməkTutaq ki, iki $⟨G,\cdot ⟩$ və ,$⟨G,\circ ⟩$ qrupları və $G$ çoxluğunun $G$-ə $f:G\to G^{\prime }$ inikası verilmişdir.

Tərif 1. Əgər $f$ inikası

$(\mathrm{\forall }x,y\in G)(f(xy)=f(x)\circ f(y)),$

şərtini ödəyərsə onda belə inikas homomorfizm adlanır.

Tərif 2. $f$ homomorfizmi biyektiv inikas olarsa, onda o, izomorfizm adlanır. Əgər $f:G\to G^{\prime }$ inikası izomorfizm olarsa, onda $⟨G,\cdot ⟩$ və ,$⟨G,\circ ⟩$ qrupları izomorf qruplar adlanır və bu belə işarə olunur $⟨G,\cdot ⟩\cong ⟨G,\circ ⟩$ (çox vaxt sadəcə $G\cong G^{\prime }$ kimi də yazılır).

Teorem 1. Əgər $f:G\to G^{\prime }$ homomorfizmi verilərsə, onda aşağıdakı münasibətlər doğrudur:

$(\mathrm{\forall }x\in G)(f(x^{-1})=(f(x{)}^{-1}),f(e)=e^{\prime }.$

İsbatı. Hər şeydən əvvəl qeyd edək ki,

$f(e)\circ e^{\prime }=f(e)=f(ee)=f(e)\circ f(e).$

Onda, buradan ixtisar qanununa əsasən yaza bilərik $f(e)=e^{\prime }$. Daha sonra

$f(x{x}^{-1})=f(x)\circ f(x^{-1})=f(e)=e^{\prime }.$

Deməli, $f(x^{-1})=(f(x){)}^{-1}.$ . Teoremin isbatı başa çatdı.

Tərif 3. $G$ çoxluğunun

$Kerf=\{x\in G|f(x)=e^{\prime }\}$

bərabərliyi ilə təyin olunan alt çoxluğuna homomorfizmin nüvəsi deyilir;

$Imf=\{y\in G^{\prime }|(\mathrm{\exists }x\in G)(y=f(x))\}$

bərabərliyi ilə təyin olunan alt çoxluq isə homomorfizmin obrazı adlanır.

Misallar. 1. $⟨R_{+},\cdot ⟩$ , ilə $R_{+}$ müsbət həqiqi ədədlərin multiplikativ qrupunu işarə edək. $x\to lnx$ inikası $R_{+}$ çoxluğunu $R$ -ə inikas edir.

$lnxy=lnx+lny$

bərabərliyi göstərir ki, bu inikas $⟨R_{+},\cdot ⟩$, qrupunun həqiqi ədədlərin $⟨R,+⟩$ additiv qrupuna homomorfizmidir. O eyni zamanda həm də izomorfizmdir.

2. $f(x)=\left|x\right|$ inikası $⟨R\{0\},\cdot ⟩$ qrupunun $⟨R_{+},\cdot ⟩$, qrupuna homomorfizmidir. Bu homomorfizm izomorfizm deyil.

$x\to e$ inikası $⟨R,+⟩$ qrupunun $⟨R_{+},\cdot ⟩$ , qrupuna izomorfizmidir.