Nyuton üsulu
Nyuton üsulu (həmçinin Nyuton-Rafson üsulu) — riyazi analizdə İsaak Nyuton və Cozef Rafsonun adına adlandırılmış, real dəyərə malik funksiyaların köklərinin ardıcıl olaraq daha yaxşı həllini tapmaq üsulu. Bu, kökün tapılması alqoritmlərindən biridir.
Nyuton üsulunun bir dəyişənlə tətbiqi aşağıdakı kimidir:
Bu üsul Şablon:Math dəyişəni olan Şablon:Math funksiyası, həmin funksiyanın Şablon:Math törəməsi və Şablon:Math funksiyasının kökü kimi ilkin Şablon:Math fərziyyəsi ilə başlayır. Əgər bu funksiya formulanın törəməsindəki fərziyyələri qane edirsə və ilkin fərz edilən həll yaxındırsa, o zaman Şablon:Math daha yaxşı təxmini həll tapmaq üçün
istifadə edilir.
Həndəsi olaraq, Şablon:Math, Şablon:Math-də Şablon:Math funksiyasının Şablon:Math oxu ilə kəsişməsidir
Bu proses daha dəqiq həll tapılana kimi aşağıdakı kimi davam etdirilir:
Təsviri
İkinci tərtib törəmənin köməyi ilə minimumun axtarılması üsullarına iki tərtibli üsullar deyilir. Bu üsullarda funksiyanın Teylor sırasına ayrılışında kvadratik hissədən istifadə edilir. Nyuton üsulu da məhz ikinci tərtib üsullara, yəni minimallaşdırılan funksiyanın ikinci tərtib törəmələrindən istifadə edilən üsullara aiddir. Bu üsulda da məqsəd funksiyanın Teylor ayrılışının kvadratik hissəsindən istifadə etməkdir. Teylor ayrılışının kvadratik hissəsi funksiyanı bu ayrılışın xətti hissəsinə nisbətən daha dəqiq approksimasiya etdiyindən gözləmək olar ki, ikinci tərtib üsullar birinci tərtib üsullara nisbətən daha sürətlə yığılır. Tətbiqi məsələlərin həlli göstərir ki, Nyuton üsulu çox sürətlə yığılır.
Nümunə
Ədədin kvadrat kökünün tapılması məsələsinə baxaq. Nyuton üsulu kvadrat kökün tapılması üsullarından biridir.
Məsələn, əgər 612-nin kökünü tapmaq istəyiriksə, o zaman bu məsələ belə yazıla bilər
Nyuton üsulu ilə funksiyanın yazılışı belədir
və onun törəməsi
İlkin fərziyyə kimi 10 ədədini götürsək, Nyuton üsulu ilə hesablama ardıcıllığı belə olacaq
burada düzgün onluq kəsr ədədlərinin altından xətt çəkilib. Bir neçə təkrarlamadan sonra nəticənin dəqiqliyi də artır.
Proqramlaşdırılması
Python
''' funksiyanın test edilməsi
def f(x):
return x**2 - 17
def f1(x):
return 2*x
'''
def newtons_method(x0, f, f1, e):
#f1 - törəmə
x0 = float(x0)
while True:
x1 = x0 - (f(x0) / f1(x0))
if abs(x1 - x0) < e:
return x1
x0 = x1
PHP
<?php
// PHP 5.4
function newtons_method(
$a = -1, $b = 1,
$f = function($x) {
return pow($x, 4) - 1;
},
$derivative_f = function($x) {
return 4 * pow($x, 3);
}, $eps = 1E-3) {
$xa = $a;
$xb = $b;
$iteration = 0;
while (abs($xb) > $eps) {
$p1 = $f($xa);
$q1 = $derivative_f($xa);
$xa -= $p1 / $q1;
$xb = $p1;
++$iteration;
}
return $xa;
}
Octave
function res = nt()
eps = 1e-7;
x0_1 = [-0.5,0.5];
max_iter = 500;
xopt = new(@resh, eps, max_iter);
xopt
endfunction
function a = new(f, eps, max_iter)
x=-1;
p0=1;
i=0;
while (abs(p0)>=eps)
[p1,q1]=f(x);
x=x-p1/q1;
p0=p1;
i=i+1;
end
i
a=x;
endfunction
function[p,q]= resh(x) % p= -5*x.^5+4*x.^4-12*x.^3+11*x.^2-2*x+1;
p=-25*x.^4+16*x.^3-36*x.^2+22*x-2;
q=-100*x.^3+48*x.^2-72*x+22;
endfunction
С
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define eps 0.000001
double fx(double x) { return x*x-17;} // hesablanan funksiya
double dfx(double x) { return 2*x;} // törəmə funksiya
typedef double(*function)(double x); // tapşırıq tipi function
double solve(function fx, function dfx, double x0) {
double x1 = x0 - fx(x0)/dfx(x0); // birinci approksimasiya
while (fabs(x1-x0)>eps) { // 0.000001 dəqiqliyinə çatana kimi
x0 = x1;
x1 = x1 - fx(x1)/dfx(x1); // növbəti approksimasiya
}
return x1;
}
int main () {
printf("%f\n",solve(fx,dfx,4)); // ekrana verilməsi
return 0;
}
C++
typedef double (*function)(double x);
double TangentsMethod(function f, function df, double xn, double eps) {
double x1 = xn - f(xn)/df(xn);
double x0 = xn;
while(abs(x0-x1) > eps) {
x0 = x1;
x1 = x1 - f(x1)/df(x1);
}
return x1;
}
//İlkin appoksimasiya seçimi
xn = MyFunction(A)*My2Derivative(A) > 0 ? B : A;
double MyFunction(double x) { return (pow(x, 5) - x - 0.2); } //Sizin funksiya
double MyDerivative(double x) { return (5*pow(x, 4) - 1); } //Birinci dərəcəli törəmə
double My2Derivative(double x) { return (20*pow(x, 3)); } //İkinci dərəcəli törəmə
//Funksiyanın çağrılması nümunəsi
double x = TangentsMethod(MyFunction, MyDerivative, xn, 0.1)