Myöbius funksiyası

Ədədlər nəzəriyyəsində əsas yerlədən birini də Myöbius funksiyası tutur. Myöbius funksiyasını $\mu (x)$ kimi işarə edirlər.

TƏRİF. Aşağıdakı şərtlər təyin edilən $\mu (x)$ funksiyası Myöbius funksiyası adlanır:

1) $\mu (x)=1$;

2) $n>1$ və $n=p_1\cdot p_2\cdots p_k$ kanonik ayrılışı üçün $\mu (n)=(-1{)}^k$ (göründüyü üzrə $k$ ədədi $n$-in sadə bölənlərinin sayıdır);

3) $n$ natural ədədi $p^2$-na bölünürsə($n\overline{⋮}{p}^2$, $p$-sadə ədəddir), $\mu (n)=0$

Misal 1: 1. $\mu (30)=\mu (2\cdot 3\cdot 5)=(-1{)}^3=-1;$ $\mu (85)=\mu (5\cdot 13)=(-1{)}^2=1;$ $\mu (28)=\mu (2^2\cdot 7)=0;$ $\mu (48)=\mu (2^4\cdot 3)=0;$ $\mu (105)=\mu (3\cdot 5\cdot 7)=(-1{)}^3=-1;$

2. $\mu (1)=1;$ $\mu (5)=-1;$ $\mu (9)=0;$

$\mu (2)=-1;$ $\mu (6)=1;$ $\mu (10)=1;$

$\mu (3)=-1;$ $\mu (7)=-1;$ $\mu (11)=-1;$

$\mu (4)=0;$ $\mu (8)=0;$ $\mu (12)=0;$

Myöbius funksiyasının sadə xassələrinə aid olan aşağıdakı teoremlərlə tanış olaq.

Teorem 1. Myöbius funksiyası multiplikativ funksiyadır, yəni $(n_1,n_2)=1$ üçün $\mu (n_1\cdot n_2)=\mu (n_1)\cdot \mu (n_2);$

Teorem 2. İxtiyari $n$ natural ədədi $(n>1)$ və onun $n/d$ natural bölənləri cəmi üçün

$\sum _{n/d}\mu (d)=0.$

Misal 2: $n=252.$ $n=252=2^2\cdot 3^2\cdot 7.$ $n=252$ üçün $\sum _{n/d}\mu (d)$ cəmini yalnız sıfır olmayan toplananları nəzərə almaqla yazsaq:

$\sum _{n/d}\mu (d)=\mu (1)+\mu (2)+\mu (3)+\mu (7)+\mu (2\cdot 3)+\mu (2\cdot 7)+\mu (3\cdot 7)+\mu (2\cdot 3\cdot 7)=1-3+3-1=0$

alırıq.

Ədəbiyyat

1.Артамонов В.А. Лекции по алгебре. М.: МГУ

2.Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. М.: Мир, 1971

3. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972

4.Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре (4-е изд.). М.: Наука, 1971

5. Егоров Д.Ф. Элементы теории чисел. М.-П.: ГИ, 1923

6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры (9-е изд.). М.: Наука, 1968

7. Курош А.Г. Общая алгебра (лекции). М.: МГУ, 1970

8.Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977

9. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962

Xarici keçidlər

• Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. — Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция № 5, 2013.

• Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. — Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция № 6, 2013.