Laplas teoremi

Laplas teoremi- determinantların minorlar üzrə ayrılışı.

TEOREM (Laplas).$n$-tərtibli $D$ determinantının ixtiyari $k$ sayda $(1\le k\le n-1)$ sətrini (sütununu) seçib bunların nisbi vəziyyətini dəyişmədən bunlardan mümkün olan bütün müxtəlif $k$ tərtibli minorlar düzəltsək, onda bu minorların öz cəbri tamamlayıcıları ilə hasilləri cəmi determinantın özünə bərabər olar.

İSBATI. Tutaq ki, $n$-tərtibli $D$ determinantında hər hansı $i_1,i_2,...,i_k$ nömrəli sətirləri qeyd edib, həmin sətirlərdən bunların nisbi vəziyyətini dəyişmədən alınan $k\times n$ ölçülü matrisdən buradakı ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},...,{\alpha }_{i_k}$ sütunlarının köməyi ilə bütün mümkün ola bilən müxtəlif $k$-tərtibli $M_1,M_2,...,M_s$ minorlarını düzəltmişik (bunun üçün "kombinezon sayağı" qaydadan istifadə edirlər, yəni seçilmiş $k$ dənə ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},...,{\alpha }_{i_k}$ nömrəli sətirlərin nisbi vəziyyətini dəyişmədən bunların hər dəfə heç olmasa bir nömrəsi ilə fərqlənən müxtəlif ardıcıl nömrəli sütunlarla kəsişmələrinə baxmaq gərəkdir). Bu yolla düzəldilən $M_1,M_2,...,M_s$ minorlarının cəbri tamamlayıcıları $A_1,A_2,...,A_s$ olsun. Göstərməliyik ki:

$D=M_1{A}_1+M_2{A}_2+...+M_s{A}_s=\sum _{i=1}^S{M}_i{A}_i$ (1)

$M_i{A}_i$-lər öz işarələri ilə verilən $D$ determinantının hədləridir. Həmçinin buradakı $M_1,M_2,...,M_s$ minorları bir-birindən heç olmasa bir sütunu ilə fərqləndiyi üçün (1) cəmindəki toplananlar da ortaq həddə malik olmamalıdır. Deməli, (1) cəmində iştirak edən hasillərdən alınan hədlər hamısı verilən $n$-tərtibli determinantın müxtəlif hədləridir. Teoremin isbatını tamamlamaq üçün bu hədlərin sayının $n!$ olduğunu göstərməliyik. $M_i(i=\overline{1,s})$ minorlarının hər biri $k$-tərtibli olduğundan bunların hədləri sayı $k!$, cəbri tamamlayıcılar isə $(n-k)$ tərtibli olduğundan bunlardakı hədlərin sayı $(n-k)!$ olur. $M_i{A}_i$ hasilinin hər birində determinantın $k!(n-k)!$ sayda həddi olmalıdır. (1) cəmində $s$ sayda toplanan olduğundan burada iştirak edən müxtəlif hədlərin sayı $s\cdot k!(n-k)!$ dənə olmalıdır. Buradakı $s$ əmsallı determinantın $k$ sayda sətrindən düzəldilməsi mümkün ola bilən $k$ tərtibli minorların sayıdır. Bu minorların düzəldilməsi qaydası və quruluşu elədir ki, onlar bir-birindən ancaq sütunlar ilə fərqlənirlər(heç olmasa bir sütunu ilə). Onda belə minorların sayı $s=C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ olmalıdır. Deməli, (1) cəmində olan hədlərin ümumi sayı

$\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot k!(n-k)!=n!$

olur, yəni bu cəmdə determinantın təkrar olunmamaq şərti ilə bütün $n!$ sayda hədlərinin hamısı iştirak edir.

Ədəbiyyat

• Maarif Əkbərov "Cəbr və Ədədlər nəzəriyyəsi"
• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
• Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2000.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: Учебник для вузов. М.: Физматлит, 2004.