Kramer üsulu

Kramer üsulu — xətti cəbrdə xətti tənliklər sisteminin həlli üsuludur. Bu üsul 1750-ci ildə onu dərc etmiş Qabriel Kramerin adına adlandırılıb. Lakin Kolin Maklaurin də həmçinin bu üsulu 1748-ci ildə dərc etmişdi (və ehtimalən 1729-cu ildə bu üsul barədə bilirdi).

Təsviri

Tutaq ki, kvadrat xətti tənliklər sistemi (<yəni $n$ məchullu $n$ tənlik) verilmişdir

$\{\begin{array}{ccccc}uj{a}_{11}{x}_1& +a_{12}{x}_2& +\dots & +a_{1n}{x}_n& =b_1\\ a_{21}{x}_1& +a_{22}{x}_2& +\dots & +a_{2n}{x}_n& =b_2\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1}{x}_1& +a_{m2}{x}_2& +\dots & +a_{mn}{x}_n& =b_m\end{array},(1)$

və əsas matrisin determinantı sıfırdan fərqlidir.

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}\dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}\dots & a_{2n}\\ & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}\dots & a_{nn}\end{array}\right|\ne 0,(2)$

Tutaq ki, $x_1,x_1,...,x_n$ (1) sisteminin hər hansı bir həllidir. Onda (1) bərabərliklərini uyğun olaraq əsas matrisin $\mathrm{\Delta }$ determinantının hər hansı $j$ sütunun ($j=\overrightarrow{1,n}$) elementlərinin $A_{1j},x_{1j},...,x_{nj}$ cəbri tamamlayıcılarına vurub və sonra alınan bərabərlikləri toplasaq alarıq:

$\sum _{i=1}^N{x}_1(a_{1i}{A}_{1j}+a_{2i}{A}_{2j}+...+a_{ni}{A}_{nj})=b_1{A}_{1j}+b_2{A}_{2j}+...+b_n{A}_{nj}$

burada $i$ sütun elementlərinin $j$ sütunun elementlərinin uyğun cəbri tamamlayıcılarına hasaillərin cəmi $i\ne j$ olanda sıfıra və $i=j$ olanda determinanta bərabər olmasını nəzərə alsaq son bərabərlikdən alarıq:

$x_j\mathrm{\Delta }=b_1{A}_{1j}+b_2{A}_{2j}+...+b_n{A}_{nj}.$

(3)

Əsas matrisin determinantından $j$ sütununu $b_1,b_2,...,b_n$ sabit hədlər sütunu ilə əvəz etməklə ($\mathrm{\Delta }$-nın bütün başqa sütunlarını saxlamaq şərti ilə) alınan determinantı ${\mathrm{\Delta }}_j$ ilə işarə edək.

Qeyd edək ki, (3)-ün sağ tərəfində elə həmin ${\mathrm{\Delta }}_j$ determinantı durur və bu bərabərlik aşağıdakı şəklə düşər:

$x_j\mathrm{\Delta }={\mathrm{\Delta }}_j(j=\overrightarrow{1,n})(4)$

Əsas matrisin $\mathrm{\Delta }$ determinantı sıfırdan fərqli olduğundan (4) bərabərlikləri aşağıdakı nisbətlərlə ekvivalentdirlər

$x_j=\frac{{\mathrm{\Delta }}_j}{\mathrm{\Delta }}(j=\overrightarrow{1,n})(5)$.

Beləliklə əsas matrisin (2) determinantı sıfırdan fərqli olan (1) sisteminin $x_1,x_1,...,x_n$ həllərinin birqiymətli olaraq (5) düsturları vasitəsilə təyin edilir. Bu düsturlar Kramer düsturları adlanır.

Nəticə1. Əgər sistemin həlli yoxdursa, onun baş determinantı sıfırdır.