Koşi-Eyler tənliyi

Koşi-Eyler tənliyi və ya Eyler-Koşi tənliyi ya da qısaca, Eyler tənliyi xətti, bircins, dəyişən əmsallı adi differensial tənlikdir.

Tənlik

y⁽ⁿ⁾(x) y(x) funksiyasının n-ci dərəcədən törəməsi olsun, onda Koşi- Eyler tənliyi bu şəkildə verilir:

$a_n{x}^n{y}^{(n)}(x)+a_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0.$

$x=e^u$ əvəzləməsi ilə tənlik sabit əmsallı xətti diferensial tənliyə gətirilir. Alternativ olaraq tənliyin aşkar həlli $y=x^m$ əvəzləməsi ilə tapılır.

İkitərtibli Koşi-Eyler tənliyinin aşkar həlli

İki həqiqi kökü olan ikitərtibli Koşi-Eyler tənliyinin həll əyriləri

İkiqat kökü olan ikitərtibli Koşi-Eyler tənliyinin həll əyriləri

Kompleks kökü olan ikitərtibli Koşi-Eyler tənliyinin həll əyriləri

Ən çox yayılmış Koşi-Eyler tənliyi Laplas tənliyinin qütb koordinatlarında həlli kimi, bir sıra fizika və mühəndislik tətbiqlərində görünən ikitərtibli tənlikdir. İkitərtibli Koşi-Eyler tənliyi aşağıdakı kimidir:

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+ax\frac{dy}{dx}+by=0.$

Aşkar həlli

$y=x^m$

şəklində tapılır.

Differensiallamaqla alınır:

$\frac{dy}{dx}=m{x}^{m-1}$

və

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=m(m-1)x^{m-2}.$

Alınan ifadələri əsas tənlikdə yerinə yazmaqla alınır:

$x^2(m(m-1)x^{m-2})+ax(m{x}^{m-1})+b(x^m)=0$

Tənlik aşağıdakı hala gətirilir:

$m^2+(a-1)m+b=0.$

Alınan tənlik m -ə nəzərən həll edilir. Üç xüsusi hal mümkündür:

• 1-ci hal, tənliyin iki müxtəlif kökü var: m₁ and m₂;
• 2-ci hal, tənliyin təkrarlayan kökü var: m;
• 3-cü hal, tənliyin kompleks kökü var: α ± βi.

Birinci hal üçün ümumi həll:

$y=c_1{x}^{m_1}+c_2{x}^{m_2}$

2-ci hal üçün ümumi həll:

$y=c_1{x}^m\ln (x)+c_2{x}^m$

3-cü hal üçün ümumi həll:

$y=c_1{x}^{\alpha }\cos (\beta \ln (x))+c_2{x}^{\alpha }\sin (\beta \ln (x))$

$\alpha =\mathrm{R}\mathrm{e}(m)$

$\beta =\mathrm{I}\mathrm{m}(m)$

$c_1,c_2$ ∈ ℝ .

Həllin bu forması x = e^t əvəzləməsi edib, Eyler düsturundan istifadə etməklə əldə edilir.