Kəsilməz funksiya

Funksiyanın kəsilməzliyi — əgər

$\underset{x\to x_0}{lim}$ f(x)=f($x_0$) (1)

olarsa, yəni f(x) funksiyası x=$x_0$-da təyin olunub və istənilən Ԑ>0 üçün elə δ=δ(Ԑ,$x_0$) >0 ədədi var ki, $|x-x_0|$˂δ şərtini ödəyən və f(x)-in təyin oblastından olan istənilən x üçün 

$|f(x)-f(x_0)|$ ˂ Ԑ

bərabərsizliyi doğrudursa, onda f(x) funksiyası x=$x_0$-da (və ya $x_0$ nöqtəsində) kəsilməz adlanır.

Əgər f(x) funksiyası verilmiş X=$\{x\}$ çoxluğunun (intervalın, parçanın və i.a.) bütün nöqtələrində kəsilməzdirsə, bu funksiya X çoxluğunda kəsilməz adlanır.

Əgər f(x) funksiyasının X=$\{x\}$ təyin oblastına daxil olan və ya bu çoxluğun limit nöqtəsi olan hər hansı x=$x_0$ nöqtəsində (1) bərabərliyi ödənmirsə (yəni ya (a) f($x_0$) ədədi yoxdur,başqa sözlə,funksiya x=$x_0$ nöqtəsində təyin olunmayıb, ya (b) lim{x \to $x_0$}{f(x)} yoxdur, ya da (c) (1) düsturunun hər iki tərəfinin mənası var,lakin onlar bir-birinə bərabər deyil), onda $x_0$ nöqtəsi f(x) funksiyasının kəsilmə nöqtəsi adlanır.

Kəsilmə nöqtələrini aşağıdakı kimi fərqləndirirlər:

1) I növ kəsilmə nöqtəsi elə $x_0$ nöqtəsinə deyilir ki, bu nöqtədə sonlu sol və sağ limitləri

f($x_0$-0)=$\underset{x\to x_0-0}{lim}$f(x), f($x_0$+0)= $\underset{x\to x_0+0}{lim}$f(x)

var;

2) II növ kəsilmə - bütün qalan nöqtələrdir. f($x_0$+0) - f($x_0$-0) fərqi $x_0$ nöqtəsində funksiyanın sıçrayışı adlanır.

Əgər f($x_0$-0) = f($x_0$+0) bərabərliyi ödənərsə, onda $x_0$ kəsilmə nöqtəsi aradan qaldırıla bilən adlanır. Əgər f($x_0$-0) və ya f($x_0$+0) limitlərindən heç olmasa biri ∞ simvoluna bərabərdirsə, onda $x_0$ sonsuz kəsilmə nöqtəsi adlanır.

Əgər

f($x_0$-0) = f($x_0$) f($x_0$+0) = f($x_0$)

bərabərliyi ödənərsə, onda f(x) funksiyasına $x_0$ nöqtəsində soldan (sağdan) kəsilməz deyilir. f(x) funksiyasının $x_0$ nöqtəsində kəsilməzliyi üçün zəruri və kafi şərt üç ədədin bərabərliyidir:

f($x_0$-0) = f($x_0$+0) = f($x_0$)

2.Elementar funksiyaların kəsilməzliyi.

Əgər f(x) və g(x) funksiyaları x=$x_0$ nöqtəsində kəsilməzdirlərsə,onda

a)f(x) ± g(x) b)f(x)g(x) c)$\frac{f(x)}{g(x)}$ (g($x_0$)≠0)

funksiyaları da x=$x_0$-da kəsilməzdir. Xüsusi halda:

a) tam rasional P(x)=$a_0$+$a_1$x+...+$a_n$$x^n$ funksiyası istənilən x nötəsində kəsilməzdir;

b) kəsr rasional  R(x)=$\frac{a_0+a_{1}x+\mathrm{...}+a_n{x}^n}{b_0+b_{1}x+\mathrm{...}+b_m{x}^m}$ funksiyası məxrəcin sıfra çevrilmədiyi hər bir x nöqtəsində kəsilməzdir.

Ümumiyyətlə, elementar funksiyalar: $x^n$,sinx,cosx,tgx,$a^x$,Şablon:Math,arcsinx,arccosx,arctgx,... təyin olunduqları bütün nöqtələrdə kəsilməzdir.

Daha ümumi nəticə aşağıdakılardır: əgər f(x) funksiyası x=$x_0$-da kəsilməzdirsə və g(y) funksiyası y=f($x_0$)-da kəsilməzdirsə,onda g(f(x)) funksiyası x=$x_0$-da kəsilməzdir.