Furye sıraları

1.Ayrılış teoremi

Əgər ($-l,l$) intervalında təyin olunmuş $f(x)$ funksiyası hissə-hissə kəsilməzdirsə, $f(x)$-in hissə-hissə kəsilməz $f^{\prime }(x)$ törəməsi varsa və bütün $\xi$ kəsilmə nöqtələri requlyardırsa ( yəni $f(\xi )=\frac{1}{2}[f(\xi -0)+f(\xi +0)]$ ) ,onda bu intervalda $f(x)$ funksiyası Furye sırası şəklində göstərilə bilər:

$f$($x$)$=$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})$ , (1)

burada

$a_n=\frac{1}{l}\underset{-l}{\overset{l}{\int }}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx$ ($n$$=0,1,2,...$) (2)

və

$b_n=\frac{1}{l}\underset{-l}{\overset{l}{\int }}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx$ ($n=0,1,2,...$) (2').

Xüsusi halda:

a)əgər $f(x)$ funksiyası cütdürsə, onda

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos \frac{n\pi x}{l}$ (3)

olar, burada

$a_n=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}$ ($n=0,1,2,...$) ;

b)əgər $f(x)$ funksiyası təkdirsə, onda

$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\sin \frac{n\pi x}{l}$ (4)

olar, burada

$b_n=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}$ ($n=0,1,2,...$) .

($0,l$) intervalında təyin olunan və yuxarıda göstərilən kəsilməzlik xassələrini ödəyən $f(x)$ funksiyasını bu intervalda həm (3) düsturu, həm də (4) düsturu şəklində göstərmək olar.

2.Tamlıq şərti

($-l,l$) intervalında kvadratı ilə birlikdə inteqrallanan ixtiyari $f(x)$ funksiyası üçün (2) və (2') əmsalları vasitəsilə formal qurulan (1) sırası Lyapunov bərabərliyini ödəyir:

$\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n^2+b_n^2)=\frac{1}{l}\underset{-l}{\overset{l}{\int }}f(x{)}^{2}dx$ .

3.Furye sıralarının inteqrallanması

($-l,l$) intervalında Riman mənada inteqrallanan $f(x)$ funksiyasının ( hətta dağılan ) (1) Furye sırasını bu intervalda hədbəhəd inteqrallamaq olar.