Eyler üsulu

Şablon:Vikiləşdirmək Ardıcıl yaxınlaşma üsulunda hər bir yaxınlaşmada müəyyən inteqrallar hesablanır. Əksər hallarda müəyyən inteqralları dəqiq üsullarla hesablamaq mümkün olmur və təqribi üsullardan istifadə olunur. Tutaq ki,

$y^{\prime }(x)=f(x,y)$

diferensial tənliyinin $y(x_0)=y_0$ başlanğıc şərtini ödəyən həllini $[a,b]$ parçasında tapmaq tələb olunur $[a,b]$ parçasını $h$ addımı ilə $n$ bərabər hissəyə bölək:

$h=\frac{b-a}{n},x_i=x_0+ih,(i=0,1,2,\dots )$

$[x_k,x_{k+1}]$ parçasında tənliyini inteqrallayaq.

$\underset{x_k}{\overset{x_{k+1}}{\int }}{y}^{\prime }(x)dx=\underset{x_k}{\overset{x_{k+1}}{\int }}f(x,y)dx$ $y(x){|}_{x_k}^{x_{k+1}}=\underset{x_k}{\overset{x_{k+1}}{\int }}f(x,y)dx\Rightarrow y(x_{k+1})=y(x_k)+\underset{x_k}{\overset{x_{k+1}}{\int }}f(x,y)dx$ (1)

$[x_k,x_{k+1}]$ parçasında $f(x,y)$ funksiyasının qiymətini sabit, $(x_k,y_k)$ nöqtəsindəki qiymətinə bərabər götürsək (1) aşağıdakı kimi yazılar:

$y(x_{k+1})=y(x_k)+f(x_k,y_k)(x_{k+1}-x_k)=y(x_k)+f(x_k,y_k)h$(2)

(2) $(x_k,y_k)$ nöqtəsində tənliyin $y(x)$ həllinə çəkilmiş toxunanın tənliyidir. Sanki $[x_k,x_{k+1}]$ parçasında tənliyin həlli abisisi $x_k$ olan nöqtədə çəkilmiş toxunana paralel və $(x_k,y_k)$ nöqtəsindən keçən düz xətt parçası ilə əvəz olunur. Nəticədə həllə yaxın sınıq xətləri alırıq ki, bu sınıq xəttə Eyler sınıq xətti deyilir. $x_{k+1}-x_k=h$ olduğunu nəzərə alsaq və sadə işarələmələrdən istifadə etsək, hesabat düsturlarını aşağıdakı şəkildə yaza bilərik:

$y_{k+1}=y_k+f(x_k,y_k)h$