Eyler çevrilməsi

Eyler çevrilməsi — nəticə verə bilən funksiyalar arasındakı əlaqə, bəzi hallarda Eyler çevrilməsi olaraq adlandırılır. İki fərqli formada var olan çevrilmə, ardıcıl silsilələrin yığılmasını sürətləndirə bilir. Başqa bir deyimlə,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{{\mathrm{\Delta }}^n{a}_0}{2^{n+1}}$

ifadəsində x yerinə 1/2 qoyularaq 1 əldə edilə bilir. Sağdakı elementlər çox sürətli şəkildə kiçildikləri üçün bu cəm asanlıqla hesablana bilir.

Eyler çevrilməsi aşağıdakı formada ümumiləşdirilə bilər:

p = 0, 1, 2, … üçün

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+p}{n})a_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+p}{n})\frac{{\mathrm{\Delta }}^n{a}_0}{2^{n+p+1}}$

bərabərliyi təmin edilir.

Eyler çevrilməsi ${}_2{F}_1$ hipergeometrik silsiləsinə sıxlıqla tətbiq edilir. Bu halda Eyler çervilməsi

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=(1-z{)}^{-b}{}_2{F}_1(c-a,b;c;\frac{z}{z-1})$

olaraq ifadə edilə bilir.

Binom çevrilməsi və bunun fərqli bir tətbiqi olan Eyler çevrilməsi bir ədədin daimi kəsr olaraq ifadə edilməsində böyük əhəmiyyət daşıyır. $0<x<1$ ədədinin daimi kəsr ifadəsinin

$x=[0;a_1,a_2,a_3,\cdots ]$

olduğu güman edilərsə, burdan

$\frac{x}{1-x}=[0;a_1-1,a_2,a_3,\cdots ]$

və

$\frac{x}{1+x}=[0;a_1+1,a_2,a_3,\cdots ]$

nəticələri alınır. Şablon:Riyaziyyat-qaralama