Elliptik inteqral

$\underset{}{\overset{}{\int }}R(x,\sqrt{P(x)})dx$ (1)

inteqralına baxaq.Burada $P(x)$ dərəcəsi $n⩾3$ olan çoxhədlidir.$n=3$ və $n=4$ olduqda (1) şəklindəki inteqrallara $elliptik$ inteqrallar,$n⩾5$ olduqda isə $hiperelliptik$ inteqrallar deyiıir.Abel və Liuvill isbat etmişlər ki,elliptik inteqrallar, ümumiyyətlə, sonlu şəkildə hesablanmir.Göstərmək olar ki, (1) şəklindəki inteqrallar $n=3$ və $n=4$ olduqda hesablanan inteqrallar dəqiqliyi ilə aşağıdakı inteqrallardan birinə gətirilir ( burada $0<k<1$ parametrdir ) :

$\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2{x}^2)}}$ (2)

$\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{x^{2}dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2{x}^2)}}$ (3)

$\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{(1+n{x}^2)(1-x^2)(1-k^2{x}^2)}}$ (4)

(2), (3) və (4) inteqrallarını əvəzləmələr vasitəsilə uyğun olaraq aşağıdakı inteqrallara gətirmək olar:

$\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{(1-k^2{\sin }^2\phi )}}$ (5)

$\underset{}{\overset{}{\int }}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }d\phi$ (6)

$\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{d\phi }{(1-n{\sin }^2\phi )\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}$ (7)

(5), (6) və (7) inteqrallarına uyğun olaraq 1-ci, 2-ci və 3-cü elliptik inteqrallar deyilir.(5) və (6) inteqrallarının $\phi =0$ qiymətində sıfra çevrilən ibtidai funksiyalarını uyğun olaraq $F(k,\phi )$ və $E(k,\phi )$ ilə işarə edirlər.