Dispersiya

Dispersiya təsadüfi dəyişənin sıçrama ölçüsüdür, yəni onun riyazi gözləmədən meyillənməsidir. O, $D[X]$ ilə işarə olunur. Statistikada çox vaxt ${\sigma }_X^2$ və ya ${\sigma }^2$ işarələmələrindən istifadə edilir. Dispersiyanın kökü, yəni $\sigma$ orta kvadratik meyillənmə adlanır. Standart meyillənmə də təsadüfi qiymətin vahidi ilə ölçülür. Dispersiya isə bu vahidin kvadratı ilə göstərilir.

Təyinatı

Tutaq ki, $X$ təsadüfi qiymətdir, onda

$D[X]=M[|X-M[X]{|}^2]$

burada M riyazi gözləməni göstərir.

Qeyd

• Əgər təsadüfi qiymət $X$ həqiqi ədədlərdirsə, onda riyazi gözləmənin xətti olması əsasında aşağıdakı düstur düzgündür:

  $D[X]=M[X^2]-{(M[X])}^2;$

• Dispersiya təsadüfi qiymətin mərkəzi momenti sayılır;
• Disperisya sonsuz ola bilər. Məsələn Koşi paylanması.
• Disperisya moment funksiya yaradıcılarının köməyi ilə hesablana bilir $U(t)$:

  $D[X]=M[X^2]-{(M[X])}^2=U^{″}(0)-{(U^{\prime }(0))}^2$

• Y1...Yn təsadüfi ardıcıllığın dispersiyasının riyazi gösləməsi belə hesablanır:

  $D=\frac{\sum _{i=1}^n{Y}_i^2-\frac{{\left(\sum _{i=1}^n{Y}_i\right)}^2}{n}}{n-1}$

Xassələri

• İstənilən təsadüfi qiymətlərin disperisyası müsbətdir: $D[X]⩾0;$
• Əgər təsadüfi qiymətlərin disperisyası sonludursa,onda onun riyazi gözləməsi də sonludur;
• Əgər təsadüfi qiymət konstanta bərabərdirsə, onda onun dispersiya sıfırdır: $D[a]=0.$ Əksinə mülahizə də doğrudur: əgər $D[X]=0,$ olrsa, onda $X=M[X]$ ;
• İki təsadüfi qiymətlərin cəminin dispersiyası bərabərdir:

  $D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2\text{cov}(X,Y)$, burada $\text{cov}(X,Y)$ — onların kovariyasiyasıdır;

• Bir neçə təsadüfi qiymətlərin xətti kombinasiyasının istənilən disperisyası üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

  $D\left[\sum _{i=1}^n{c}_i{X}_i\right]=\sum _{i=1}^n{c}_i^{2}D[X_i]+2\sum _{1⩽i<j⩽n}{c}_i{c}_j\text{cov}(X_i,X_j)$, burada $c_i\in ℝ$;

• Xüsusi halda, istənilən asılı olmayan və ya korrelyasiya olmayan təsadüfi qiymətlər üçün bu düsturdan istifadə edilir: $D[X_1+...+X_n]=D[X_1]+...+D[X_n]$ çünki, onların kovariyasiyası sıfıra bərabərdir;
• $D\left[aX\right]=a^{2}D[X];$
• $D[-X]=D[X];$
• $D[X+b]=D[X].$

Mənbə

• 1.Колмогоров А.Н. Глава IV. Математические ожидания; §3. Неравенство Чебышева // Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — М.: Наука, 1974. — С. 63—65. — 120 с.
• 2.Боровков А.А. Глава 4. Числовые характеристики случайных величин; §5. Дисперсия // Теория вероятностей. — 5-е изд. — М.: Либроком, 2009. — С. 93-94. — 656 с.