Censen bərabərsizliyi

Censenin bərabərsizliyi qabarıq funksiyanın sekant xəttinin onun qrafikinin üstündə olması fikrini ümumiləşdirir.

Fayl:Convex 01.ogv Riyaziyyatda Danimarka riyaziyyatçısı Yohan Censenin adını daşıyan Censen bərabərsizliyi inteqralın qabarıq funksiyasının qiymətini qabarıq funksiyanın inteqralına aid edir. O, 1906-cı ildə Censen tərəfindən 1889-cu ildə Otto Hölder tərəfindən ikiqat diferensiallana bilən funksiyalar üçün eyni bərabərsizliyin əvvəlki sübutuna əsaslanaraq sübut edilmişdir Ümumiliyini nəzərə alaraq, bərabərsizlik bir çox formalarda baş verir, onlardan bəziləri kontekstdən asılı olaraq aşağıda təqdim olunur. Ən sadə formada bərabərsizlik ortanın qabarıq çevrilməsinin qabarıq çevrilmədən sonra tətbiq edilən ortadan kiçik və ya ona bərabər olduğunu bildirir; Konkav çevrilmələr üçün bunun əksinin doğru olması sadə bir nəticədir..

Censen bərabərsizliyi qabarıq funksiyanın sekant xəttinin funksiyanın qrafikindən yuxarıda olması fikrini ümumiləşdirir ki, bu da iki nöqtə üçün Censen bərabərsizliyidir: sekant xətti qabarıq funksiyanın çəkili vasitələrindən ibarətdir ( t üçün) ∈ [0,1]),

$f(t{x}_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2).$

funksiyanın qrafiki çəkili vasitələrin qabarıq funksiyası olduğu halda,

$tf(x_1)+(1-t)f(x_2),$

Beləliklə, Censen bərabərsizliyi:

$f(t{x}_1+(1-t)x_2).$

Ehtimal nəzəriyyəsi kontekstində ümumiyyətlə aşağıdakı formada ifadə edilir: əgər X təsadüfi dəyişəndirsə və Şablon:Mvar qabarıq funksiyadırsa, onda

Analiz etmək alınmadı (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].}

Bərabərsizliyin iki tərəfi arasındakı fərq, $\mathrm{E}[\phi (X)]-\phi (\mathrm{E}[X])$, Censen boşluğu adlanır.

İstinadlar

• Şablon:Cite book
• Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768–71.
• Şablon:Cite book
• Şablon:Cite book
• Şablon:Cite book
• Sam Savage (2012) The Flaw of Averages: Why We Underestimate Risk in the Face of Uncertainty (1st ed.) Wiley. ISBN 978-0471381976