Əyrinin uzunluğu

Şablon:Digər məna Uzunluq riyaziyyatda parça, yol və əyrilərin xassələrini səciyyələndirir. Əyrinin uzunluğu həmçinin "qövs uzunluğu" da adlanır.

Parçanın uzunluğu

Əgər, uyğun olaraq $(a_1,a_2,a_3)$ , $(b_1,b_2,b_3)$ koordinatlarına malik $A$ və $B$ nöqtələri verilmiş ${ℝ}^3$ fəzaya aiddrsə, onda bu koordinatlar arasındakı $AB$ parçasının uzunluğu Pifaqor teoreminə görə hesablanır:

$|AB|=\sqrt{(a_1-b_1{)}^2+(a_2-b_2{)}^2+(a_3-b_3{)}^2}$

Müstəvidə yolun uzunluğu

Müstəvi üzərində və ya fəzada yol iki və ya üç koordinat funksiyası ilə verilir:

$t\mapsto (x(t),y(t))$ uyğun olaraq $t\mapsto (x(t),y(t),z(t))$, $a\le t\le b$ şərti daxilində.

Hissə-hissə kəsilməyən yolun uzunluğu onun vektorunun inteqrallanması ilə əldə edilir:

$L={\int }_a^b\sqrt{\dot{x}(t{)}^2+\dot{y}(t{)}^2}\mathrm{d}t$ uyğun olaraq ${\int }_a^b\sqrt{\dot{x}(t{)}^2+\dot{y}(t{)}^2+\dot{z}(t{)}^2}\mathrm{d}t.$

Polyar koordinat sistemində yolun uzunluğu

Müstəvidə verilmiş yol polyar koordinat sistemnində $r(\phi )$ şəklind təyin olunmuşsa, onda

${\phi }_0\le \phi \le {\phi }_1$ üçün $\phi \mapsto (r(\phi )\cos \phi ,r(\phi )\sin \phi )$

hasil qaydasından alınır

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\phi }=r^{\prime }(\phi )\cos \phi -r(\phi )\sin \phi$ və

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\phi }=r^{\prime }(\phi )\sin \phi +r(\phi )\cos \phi$, bununla

${\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\phi }\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\phi }\right)}^2={(r^{\prime }(\phi ))}^2+r^2(\phi )$.

Buradan polyar koordinat siistemondə yolun uzunluğu belə tapılır:

$L={\int }_{{\phi }_0}^{{\phi }_1}\sqrt{{(r^{\prime }(\phi ))}^2+r^2(\phi )}\mathrm{d}\phi$.

Həmçinin bax

Uzunluq (Fizika)

Uzunluq (Cəbr)