Şvars prinsipi

Şablon:Vikiləşdirmək Fərz edək ki, $\sigma$ oblastı konturu üzərində düzgün $\gamma$ analitik xətti saxlayır.

Teorem

$\sigma$ oblastında analitik və $\gamma$ üzrə sərhəd qiymətləri analitik funksiya olan $f(z)$ funksiyasını $\gamma$ xəttindən analitik davam etdirmək olar. $f(z)$-in $\gamma$ üzrə qiymətləri $z\to t$ olduqda $f(z)$-in $f(t)$ limit qiyməti başa düşülür.

İsbatı

Əvvəlcə teormi xüsusi hal üçün isbat edək. Fərz edək ki, $\gamma$ həqiqi oxun $[a,b]$ parçasıdır. Onda $\gamma$-nın tənliyi

$\{\begin{array}{cc}x=t& \\ y=0& \end{array}$$\alpha \le t\le \beta$

olar. Şərtə görə $f(t)$ funksiyası $[a,b]$ üzərində analitik olduğundan bu parçanın $x_o$ nöqtəsi ətrafında

$f(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k(t-x_0{)}^k$

olar. Burada $t$ evazine kompleks $z$ dəyişənini yazsaq

$\phi (z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_k(z-x_0{)}^k$

funksiyasrı $x=x_o$ nöqtasinin müəyyən ətratında analitik funksiya olar.

$\omega (z)=\phi (z)-f(z)$

ile işarə edək. Aydındır ki, ${\omega }_{x_0},{\sigma }_{x_0}$ oblastında analitik funksiya olmaqla ${\gamma }_{x_0}$ üzrə

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{z\to t}\omega (z)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{z\to t}\phi (z)-\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{z\to t}f(z)$ $\omega (t)=f(t)-f(t)=0$

olur. ${\gamma }_{x_0}$ üzrə $\omega (t)=o$ olduğundan Şvarsın simmetriya prinsipinə görə $\omega (z)$ -i $\gamma$ xəttindən analtik davam etdirmək olar, Beləliklə, göstərmiş oluruq ki, $\omega (z)$ funksiyası mərkəzi $x_0$olan və ${\gamma }_{x_0}$ parçası öz daxilinə alan müəyyən bir ${\sigma }_{x_0}$ ətrafında analitik olmaqla ${\gamma }_{x_0}$ üzrə sıfra çevrilir. Onda analitik funksiyaların yeganəlik teoreminə görə həmin ətrafda $\omega (z)\equiv o$ və yaxud da

$\phi (z)=f(z)$

olar. Başqa sözlə, $f(z)$ funksiyasını ${\gamma }_{x_0}$ xəttindən analitik davam etdirmsk olar. $x_0$ nöqtəsi $[\alpha ,\beta ]$ parçasının ixtiyari nöqtəsi olduğundan $f(z)$-i $\gamma$ xəttindən analitik davam etdirmək olar. Bu üsuldan göründüyü kimi $\phi (z)$ funksiyası $f(z)$-in analitik davamıdır.

İndi ümumi halı tədqiq edək. Fərz edək ki, $z=z(t)$ $(\alpha \le t\le \beta )$ düzgün $\gamma$ analitik xəttinin tənliyidir. Şərtə görə $f(z)$, $\gamma$ üzrə analitik funksiya olduğundan

$\mathrm{\Phi }(t)=f[z(t)]$

funksiyasını hər hansı $t=t_0$ nöqtəsi ətrafında sıraya ayırmaq olar:

$\mathrm{\Phi }(t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\beta }_k(t-t_0{)}^k.$

Şərtə görə $z^{\prime }(t_0)\ne 0$ olduğundan $t=t_0$-ın elə ${\delta }_{t_0}^{\prime }$ ətrafını tapmaq olar ki, həmin ətraf

$z=z(t)$

funksiyası vasitəsilə ilə mərkəzi $\gamma$ üzərində olan ${\delta }_{t_0}^{\prime }$ ətrafına qarşılıqlı birqiymətli inikas olunsun. $\mathrm{\Phi }(t)$ mərkəzi $t_0$ nöqtəsində olan müəyyən $K_{t_0}$ parçasında analitik funksiya olduğundan bundan əvvəlki hala görə həmin funksiyanı $K_{t_0}$ parçasından analitik davam etdirmək olar. Bu funksiyanın aralitik davamını ${\mathrm{\Phi }}_0(t)$ ilə işarə edək. $z=z(t)$ funksiyası vasitəsilə ${\delta }_{t_0}$-ın ${\delta }_{t_0}^{\prime }$ ətrafı ${\delta }_{t_0}$ ətrafına qarşılıqlı birqiymətli inikas olduğundan $t$-in istənilən ətrafında

$z^{\prime }(t)\ne 0$

olar. Ona görə də $t=p(z)$-i $z=z(t)$-nin tərs funksiyasə kimi təyin etmək olar. Onda

${\phi }_1(z)={\mathrm{\Phi }}_0[p(z)]$

funksiyası $z$ nöqtəsini daxilinə alan və $\gamma$-nın hissəsi olan müəyyən bir ${\gamma }_{z_0}$ qövsündən $f(z)$ -in analitik davamı olar. $z_0,\gamma$ qövsünün ixtiyari nöqtəsi olduğundan aydındır ki, $f(z)$ -i $\gamma$ xəttindan analtik davam etdirmək olar. Bununla da analitik davam üçün Şvars teoremi tamamilə isbat olunur.

Ədəbiyyat

1. Ə. H. Əhmədov. Xətti analizin üç prinsipi. Dərs vəsaiti. Bakı: "Bakı Universiteti" nəşriyyatı, 2008, 112 s.

2. Elşar Qurban oğlu Orucov. Tətbiqi funksional analizin elementləri: Bakı "BDU nəşriyyatı", 2008, 234 səh. Şablon:Vebarxiv

3. А. Н. Колмогоров, С. М. Фомин. Элементы теории функции и функционального анализа. М., 1988 г

4. Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. М., 1965г.

5. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М., 1959 г.

6. М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики, т.1. Функциональный анализ, 1977 г.

7. В. А. Треногин. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М., 1984 г.

8. Ə. Həbibzadə. Kompleks dəyişənli funksiyalar nəzəriyyəsi. Bakı, 1962

Xarici keçidlər

Функции комплексной переменной