VKB metodu

VKB metodu (Ventzel-Kramers-Brillüen) – Kvant mexanikasında kvaziklassik yaxınlaşmadır. Bu metod klassik trayektoriyalar, kvant spektri və dalğa funksiyası arasında əlaqə qurur, belə ki, dalğa funksiyası klassik təsir vasitəsilə ifadə olunur. Bu metod 1926-ci ildə bir-birindən asılı olmadan üç fizik Q.Ventzel, H.Kramers və L.Brillüenin tərəfindən inkişaf etdirildiyinə görə VKB metodu adını almışdır.

Şredinger tənliyini yazaq:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+U(x)\psi =E\psi$

Burada $U$ potensialının $x=0$ nöqtəsində minimumunun olduğu və bu nöqtədən uzaqlaşdıqca monoton artdığı nəzərdə tutulur. Belə potensialda $E$ enerjisinə malik klassik zərrəcik (maddi nöqtə) $U(x)=E$ tənliyinin həlləri olan $a$ və $b$ nöqtələri arasında periodik rəqs edəcək. Yeni dəyişənlər daxil edək

$k(x)=\sqrt{\frac{2m}{{\hslash }^2}[E-U(x)]}$

və Şredinger tənliyini yenidən yazaq:

$\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+k^2(x)\psi =0$

Dalğa funksiyasını aşağıdakı şəkildə göstərək:

$\psi (x)=A(x)\exp [\frac{i}{\hslash }S(x)]$

burada amplitud $A$ və eksponentin qüvvəti $S$ həqiqi nəzərdə tutulurlar. Sonuncu ifadəni Şredinger tənliyində nəzərə alsaq aşağıdakı diferensial tənlikləri alarıq:

$A(S^{\prime }{)}^2=A{p}^2+{\hslash }^2{A}^{″}$

$S^{″}A+2S^{\prime }A=0$

burada $p(x)=\hslash k(x)$ lokal impulsdur. Alınmış tənliklər Şredinger tənliyinə tam ekvivalentdirlər. Kvaziklassik yaxınlaşmada ${\hslash }^2{A}^{″}$ həddi kiçik olduğu üçün atıla bilər (bu yazınlaşmasız qeyri-xətti Rikkati tənliyi dəqiq həll olunmur). Bu halda alınan ifadələri inteqrallamaq olur:

$S(x)=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}p(x)dx$

$A=\frac{{\psi }_0}{\sqrt{|p(x)|}}$

burada $S(x)$ klassik təsirə uyğun gəlir. Nəticədə kvaziklassik dalğa funksiyasını tapmış oluruq:

$\psi (x)=\frac{{\psi }_0}{\sqrt{|p(x)|}}\exp (\frac{i}{\hslash }\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}p(x)dx)$

Təsvir olunan bu metod VKB metodu adlanır.

Xarici keçidlər

• [1]Şablon:Dead link – S. C. Miller, Jr. and R. H. Good, Jr. A WKB-Type Approximation to the Schrödinger Equation Phys. Rev. 91, 174–179 (1953)
• [2]Şablon:Dead link – Carl M. Bender, G. S. Guralnik, Martin L. Silverstein WKB approximation for quantum theory on a lattice Phys. Rev. D 20, 2583–2591 (1979)
• [3]Şablon:Dead link – Abraham Klein and H. Arthur Weldon Equations of motion, variational principles, and WKB approximations in quantum mechanics and quantum field theory: Bound states Phys. Rev. D 17, 1009–1030 (1977)
• [4]Şablon:Dead link – Gua Xiao-Yan and Sun Jian-Qiang Notes on Application of WKB Method Commun. Theor. Phys. 50 864-866 (2008)