Eyler inteqralları

1. Qamma-funksiya

$x>0$ olduqda

$\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$ .

Qamma-funksiyasının əsas xassəsi

$\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$

düsturu ilə ifadə olunur. Əgər $n$ natural ədəddirsə, onda

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!;$ $\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})=\frac{1\times 3...(2n-1)}{2^n}\sqrt{\pi }$ .

2. Tamamlama düsturu

$x$ tam ədəddən fərqli olduqda

$\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(1-x)=\frac{\pi }{\sin \pi x}$ .

Bu düstur arqumentin mənfi qiymətləri üçün qamma-funksiyasını təyin etməyə imkan verir.

3. Beta-funksiya

$x>0$ və $y>0$ olduqda

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt$ ,

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$

düsturu dogrudur