Muavr düsturu

Muavr düsturu — kompleks ədədlər üçün ifadə olunan $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ düsturu, iddia edir ki, ixtiyari $n\in \mathbb{Z}$ üçün olduqda Muavr düsturu aşağıdakı kimi olur:

$z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$.

İsbatı

Muavr düsturunu Eyler düsturu ilə $e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$ ifadə edib və qüvvət əməllərini $(e^a{)}^b=e^{ab}$ yerini yetirib isbat etmək olar. Burada b — tam ədəddir.

Tətbiqi

Analoji düstur həmçinin kompleks ədədlərin sıfırdan fərqli n-ci köklərinin tapılmasında istifadə olunur:

$z^{1/n}=[r(\cos (\phi +2\pi k)+i\sin (\phi +2\pi k)){]}^{1/n}=r^{1/n}(\cos \frac{\phi +2\pi k}{n}+i\sin \frac{\phi +2\pi k}{n}),$

k = 0, 1, …, n—1 olduqda.

Tarix

Bu düstur ilk dəfə XVIII əsrdə yaşamış fransız riyaziyyatçısı Abraham de Muavr tərəfindən kəşf edilmişdir və onun şərəfinə adlandırılmışdır.