0,(9) üçün mənbəyə bax

[[Fayl:999 Perspective 2.svg|300px|thumbnail|Onluq kəsrdə 9 rəqəmi sonsuza kimi təkrarlanır.]]
'''0,999…''' (həmçinin '''0,{{overline|9}}''', '''0,(9)''' kimi yazılır) — [[Riyaziyyat]]da onluq nöqtədən sonra yazılan sonsuz sayda [[9 (ədəd)|9]] rəqəmindən ibarət olan rasional ədəd. 0.999… ədədi 0.9, 0.99, 0.999 və s. kimi ədədlərin hamısından böyükdür.<ref>0.9, 0.99, 0.999 və s. kimi ifadələrdə sonuncu mərtəbədən sonra 0 rəqəmləri yazıla bilər və bu ifadənin qiymətini dəyişmir. Riyaziyyatdan məlumdur ki:<br>
<math>0.9000...<0.9900...<...<0.9999...</math></ref> Bu ədəd [[1 (ədəd)|1]]-ə bərabər olaraq göstərilə bilər. Başqa sözlə "0.999 …" və "1" eyni ədədi təmsil edir. Bu [[Bərabərlik|bərabərliy]]in riyazi olaraq sübuta yetirilməsinin bir çox yolu var.

<!--The technique used depends on target audience, background assumptions, historical context, and preferred development of the real numbers, the system within which 0.999… is commonly defined. (In other systems, 0.999… can have the same meaning, a different definition, or be undefined.)-->

== Cəbri isbatlar ==

=== Dövri kəsrlərdən ===
Hər rasional ifadə sonlu sayda rəqəm ehtiva edən onluq ədədlərlə ifadə edilə bilməz. Məsələn;

: <math>\frac{5}{9} = 0,(5)</math>
: <math>\frac{1}{3} = 0,(3)</math> kimi.

Əgər ikinci bərabərliyin hər iki tərəfini 3-ə vursaq:

: <math>\frac{3}{3} = 3 \times 0,\bar{3}</math>
: <math>1 = 0,(9)</math> bərabərliyini alarıq.

=== Dörd əməliyyatdan ===
<math>0.(9)</math> ədədini riyaziyyat dilində məchul ifadələrə verilən <math>x</math> ilə əvəzləyək.

: <math>x = 0,(9)</math>

Hər iki tərəfi 10-a vuraq.

: <math>10x = 9,(9)</math>

Hər iki tərəfdən ədədin özünü, yəni <math>x</math>-i çıxaq.
: <math>9x = 10x - x =  9,(9) - 0,(9) = 9</math>

Sadələşdirək.

: <math>x = 1</math>

=== Limitdən ===
Ədədimizi limit dilində ifadə ədək:

: <math>0.999\ldots = \lim_{n\to\infty}0.\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k}  = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right)</math>

<math>n</math> sonsuza yaxınlaşarkən <math>\frac{1}{10^n} </math> ifadəsi <math>0</math>-a bərabərdir. Buradan alınır ki;

: <math> = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1\,</math> dir.

=== Sonsuz ardıcıllıqlardan ===
Teorem:<math>|r| < 1</math> və <math>a</math> sabit ədəddir və <math>ar+ar^2+ar^3+\cdots = \frac{ar}{1-r}</math>-dir.

Ümumi termini <math>r=\textstyle\frac{1}{10}</math> və sabit ədədi <math>9</math> olan ardıcıllıq <math>0.(9)</math>-dur. Teoremimizi ədədimizə tətbiq etsək
: <math>0.999\ldots = 9(\tfrac{1}{10}) + 9({\tfrac{1}{10}})^2 + 9({\tfrac{1}{10}})^3 + \cdots = \frac{9({\tfrac{1}{10}})}{1-{\tfrac{1}{10}}} = 1</math> olduğunu görə bilərik.

== İstinadlar ==
{{İstinad siyahısı}}

[[Kateqoriya:Ədədlər]]
[[Kateqoriya:Paradokslar]]